Кинетостатика системы гонщик — велосипед

При движении велогонщик и велосипед образуют еди­ную движущуюся систему, в которой силы взаимодей­ствия являются внутренними и сами по себе не могут

Рис. 8.10. Схема действующих сил на веду­щем колесе велосипеда

обеспечить движения общего центра масс системы. Для движения необходимы внешние силы, которые в данном случае сводятся к силам тяжести, силам трения колес о дорожное покрытие и силам аэродинамического сопро­тивления.

Рассмотрим отдельно взятые ведущее и ведомое колеса велосипеда, а затем систему гонщик — велосипед в целом.

Ведущее колесо. К ведущему колесу (рис. 8.10) мас­сой т1 с моментом инерции приложен движущий мо­мент Мд, под действием которого со стороны дороги возникает сила трения скольжения = fNі> гДе —
сила нормального давления; f — коэффициент трения скольжения. Точка Аг является мгновенным центром вра­щения и ее скорость равна нулю. Поэтому / есть коэффи­циент трения покоя, величина которого неопределенна и может принимать значения от 0 до fmax. Эпюра скоро­стей / в диаметральном сечении колеса AiBi является фактически эпюрой скоростей набегающего воздушного потока, сила сопротивления которого Fс, приложенная в центре масс эпюры 2 суммарного лобового и вихревого (поверхностного для дисковых колес) сопротивлений, со­здает момент полного аэродинамического сопротивле­ния УИС.

Колесо, имеющее пневматическую шину в виде одно­трубки, деформируется в зоне контакта с поверхностью дороги (см. пп. 5.2 и 5.3), что приводит к смещению реак­ции Ni на некоторую величину /к, называемую коэффи­циентом трения качения. При этом возникает момент тре­ния качения УИ„1 = fKNx. Учитывая малость величины в дальнейшем будем считать реакцию приложенной в точке Лх.

Уравнения движения колеса запишутся в виде:

(8.3)

/711[5]1 — Fx — rihg sin a — Fc пііУу = Nt — mtg cos a;

ЛФі = Мя — /Vi — ТИKi — Mc,

где хи Уі — координаты положения оси колеса Ot; фх — угол поворота ведущего (заднего) колеса; а — угол на­клона поверхности дороги к горизонтали.

Если колесо катится без проскальзывания, то хг = = гіФі; #i = 0; Ni — rriig cos а. Сила трения Fi без учета сил аэродинамического сопротивления

)]x

Kcosa —

(8.4)

Fi = [Мл— m1g (f,

(8.5)

Движущий момент МЛ в правой части уравнения (8.4) может принимать различные значения, но если правая часть уравнения станет больше, чем /гаах Nlt то появится проскальзывание колеса относительно дороги и увеличе­ние Мд оказывается нецелесообразным. Максимальное ускорение составляет величину

Рис. 8.11. Схема действующих сил на ведомом колесе велоси­педа

Характерно, что под ук­лон (а < 0) можно обеспе­чить движение без проскаль­зывания с большими ускоре­ниями.

Ведомое колесо. Движе­ние ведомого колеса массой т„ с моментом инерции J2 про­исходит под действием си­

лы Q, приложенной со стороны передней вилки рамы велосипеда. В соответствии с рис. 8.11 уравнения дви-. жения имеют вид:

т2х2 = Q cos р — F2 — j — m2g sin а — Fc; ‘

ЩУ2 — —Q sin p — f N2 — m2g cos a; (8.6)

•^гфг = Fir2 Л1К2 Ліс,

где х2, у2 — координаты положения оси колеса 02; ф2 — угол поворота ведомого (переднего) колеса; fi — угол наклона линии передней вилки к горизонтали.

Из уравнений (8.6) в случае t/г = 0 и N2 = Q sin Р — m2g cos а при отсутствии аэродинамического сопро­тивления и проскальзывания колеса относительно дороги, т. е. при х2 — г2ф2, получим силу трения

Fi — Г Q cos р — m2g sin a — j — /„ ■ (Q sin p — f m2g cos a) J x

(8.7)

В уравнении (8.7), если отсутствует скольжение, долж­но выполняться условие F2 ■< /шах N 2. Максимальное ускорение

*2 max = -— [Q cos p — /roax (Q sin p + m2g cos a)] — g sin a.

• И 2 *

(8.8):

В уравнение (8.8) необходимо подставлять значение Q, определяемое из уравнения (8.7) при F2 = /N2.

Рассмотренные случаи показывают исключительной важную роль сил трения скольжения при движении колес

велосипеда. Так, для ведущего колеса при отсутствии трения скольжения (Fx = 0) движение из состояния покоя невозможно при а = 0, а при а > 0 ускорение х напра­влено в обратную сторону. Для ведомого колеса при F2 = = 0 невозможно его вращение из состояния покоя. Кроме того, от сил трения скольжения зависят максимальные ускорения, которые можно сообщить центрам масс колеса при отсутствии проскальзывания.

Рис. 8.12. Схема действующих сил в системе гонщик — велосипед

Система гонщик — велосипед в целом. Рассмотрим дви­жение системы гонщик — велосипед (рис. 8.12), сохранив для колес и действующих на них сил прежние обозначе­ния, а массу гонщика и велосипеда обозначим через ms и сосредоточим ее в точке с координатами х3 и у3. Общая ‘іасса всей системы m0 = тх — j — т2 — f т3 будет сосредото — ена в центре масс ЦМ с координатами х0 и у0. Уравнения вижения с учетом общей массы т0 и силы аэродинами — ;гского сопротивления Fc, приведенной к центру массы истемы, имеют вид:

(8.9)

m0x, = F, — F2 + m0g sin а — FCx, ЩУі = — f N2 — m0g cos a — Fcy h Фі = — F^r, — MK1;

J 2Ф2 = F2r2 — Mk2.

Считая уг = 0, jfj = Гіфі и х2 = г2ф2, получим урав­нение движения центра масс

(/«о + + -7г) =-^- — mog(K cos о + sin о) —

-(Fcx + FevK), (8.10)

где

К — f« (1/^і + 1 А’г) •

Интегрируя в пределах от 0 до t, получим уравнение энергетического баланса в следующем виде:

~2 (то + ~р|“ + ~р£~) (0 — ^1 (0)] =

t

= J dt — niogK [Jfi (f) — *i (0)] —

0

t

— mog sin a [Xj^) — Jfi(0)]— J (Fcx + FcyK) *1 dt. (8.11)

0

Левая часть уравнения (8.11) выражает приращение кинетической энергии системы, первый член правой части — работу движущего момента, а остальные члены — соответственно работу на преодоление сил трения каче­ния, работу сил тяжести и работу сил сопротивления воздуха.

Для конкретного использования уравнения (8.11) функцию х1 (t) представим в следующем виде:

*і (0 = (шо + -7І — + -7Г) —

— тоё (К cos ос + sin ос) / —- J (Fcx + FcyK) dt j + Cx, (8.12)

где произвольную постоянную Сі найдем из условия ■*1 (0) = *10-

Движущий момент Мж в первом приближении яв­ляется заданной функцией времени, зависящей от тех­ники педалирования гонщика и условий движения. В об­щем виде это достаточно сложная функция, и количе­ственные закономерности движения аналитически полу­чить затруднительно.

Ограничимся только качественным анализом движения системы, приняв закон изменения лічижущего момента в виде

Мл — М0 — f AM cos pt, (8.13)

где М0 — среднеинтегральное значение движущего мо­мента; ДМ — амплитуда изменения этого момента; р — круговая частота изменения движущего момента.

Приняв значения Fсх и FCy постоянными, из уравне­ния (8.12) получим

і І і h, J* W Г v і ДМ • *

X1(t) = (m0+-± + ~) [_!L/+_sin pt-

— {m^Kcosa.+m0gsina+FCx-~FCyK)t^ + x10. (8.14)

Из уравнения (8.14) следует, что если сумма коэффи­циентов при t больше нуля, то скорость с течением вре­мени будет возрастать и наоборот. Поэтому движение с постоянной средней скоростью должно характеризо­ваться зависимостью

*1 (0 = (то + "тг + ~|-) 1~-sinp/ + *10. (8.15)

Из уравнения (8.15) следует, что амплитуда колебаний скорости уменьшается с увеличением массы системы и мо­ментов инерции колес. Кроме того, поскольку частота р может быть принята пропорциональной скорости хг (t), то можно сделать вывод, что с ростом скорости (t) не­равномерность хода уменьшается при прочих равных условиях.

Зная закон изменения ускорения системы, можно определить реакции N і и N2, для чего необходимо прило­жить к центрам масс mlt щ и т3 соответствующие силы инерции и использовать условия равновесия системы (см. рис. 8.12). После преобразований получим:

Ni = m0g cos a — j — Fcy — N2,

N* = T msT Iff cos a'<nhL cos у + m3x3 + fKm0) —

ьсоьу (8.16)

— (*I + g sin a) (m^! + m2r2 + щу3) — fKFCy —

— РсхУо + Fcux0],

где cos у = У 1 — [(rx — r2)/2 ]2; L — база велосипеда, *«> Уо — координаты центра масс системы.

Різ уравнения (8.16) следует, что реакция N2> дей­ствующая на переднее колесо велосипеда, уменьшается при ускоренном движении (Jc > 0) и на участках подъема (а > 0) и зависит от соотношения радиусов гЛ и г2 колес велосипеда. В то же время уменьшение реакции N2 всегда приводит к увеличению реакции Nlt действующей на зад­нее, ведущее колесо.

Полученные результаты относятся к движению по пря­молинейному участку дороги, когда процесс педалирова­ния является установившимся. Движущий момент Мя пропорционален усилию Q, приложенному к педали по касательной к траектории ее движения. Мощность Qx1 (t), развиваемая гонщиком, является ограниченной величиной, она не может превзойти некоторого значения

Р max > Т. Є.

Q<Pmzx/[Xі (/)]•

Сравнительные оценки на основе кинетостатических зависимостей. Приведенные кинетостатические зависимо­сти раскрывают основные закономерности движения си­стемы гонщик — велосипед и создают предпосылки для более глубокого анализа отдельных проблем. К таким проблемам можно отнести сравнение кинематических возможностей двух гонщиков, отличающихся, например, массой и телосложением (а следовательно, на систему гонщик — велосипед будут действовать разные по вели­чине гравитационные и аэродинамические силы), или сравнительные оценки сил трения качения колес в зоне контакта однотрубок с поверхностью дороги. Необходимо отметить, что исходные данные (коэффициенты трения качения, кинематической вязкости воздуха, аэродинами­ческого сопротивления, площади миделя и другие пара­метры системы гонщик — велосипед), получаемые, как правило, экспериментальным путем, содержат значитель­ные погрешности. Уменьшить влияние этих погрешностей можно, если проводить испытания двух сравниваемых систем, оценивая только конечный результат, как это делается при свободном движении двух гонщиков на спуске (оценивается длина свободного выбега).

Спуск — один из важнейших моментов шоссейной гонки, и квалифицированный гонщик стремится исполь­зовать его для обострения спортивной борьбы. Педали­руя на больших передачах или на малых, но периодически с высокой частотой (малыми сериями), гонщик одновре­менно использует возможность увеличения скорости за счет действия гравитационной силы, вызывающей движение велосипеда на спуске. К силам внешнего сопротивления необходимо относить силу аэродинамического сопроти­вления, силы трения качения колес по поверхности ДО — роги, силы трения качения в шарикоподшипниках втулок, силы трения однотрубок о поверхность дороги и силы аэродинамического сопротивления набора колес.

Для того чтобы упростить задачу расчета максимально возможных скоростей движения системы гонщик — вело­сипед при свободном спуске, исключим из рассмотрения силы трения качения в подшипниках и ограничимся приближенной оценкой аэродинамического сопротивле-

Рис. 8.13. Схема действующих сил при расчете кинематики свободною спуска

кия. Тогда уравнение действующих сил, согласно схеме на рис. 8.13 [19], можно записать в виде

Y! iFi = + +

+ 2lhLfKCOSa-Cx^v* = 0, (8.17)

где т0 — масса системы гонщик — велосипед, кг; а — угол наклона полотна шоссе, °; g — ускорение свободного падения, м/с2; /к — коэффициент трения качения колеса велосипеда по поверхности полотна шоссе (табл. 8.1), м; г — радиус колеса, м; Сх— коэффициент аэродинамиче­ского сопротивления системы гонщик — велосипед; S — площадь миделя системы гонщик — велосипед, м2; р — кинематический коэффициент вязкости воздуха, Н-с2/м4; v — скорость движения системы гонщик — велосипед при

Контактируемые поверхности	‘к — "
Стальное колесо по стальному	0,0005
рельсу
Стальное колесо по деревянному	0,0015—0,0025
покрытию
Шарикоподшипник	0,00001—0,00004
Велосипедное колесо * по асфальту	0,001—0,004
» » » бетону	0,004
» » » естест­	0,006
венному грунту в хорошем состоянии
Велосипедное колесо по утрамбо­	0,008
ванному снегу
Велосипедное колесо по деревян­	0,001
ному покрытию велотрека
Велосипедное колесо по булыжной	0,01—0,04
мостовой
* Величина }к зависит также от избыточного давлення в камере
велосипедного колеса, рисунка и качества протектора однотрубки.

свободном спуске (относительная скорость с учетом встреч­ного или попутного ветра), м/с.

Перепишем уравнение (8.17) с учетом того, что cos а я# 1:

т° = m<>v"Іг = w0g(sina — — уї-) — Сх^-Ф. (8.18) Введя обозначения

получим

(8.19)

„ do gfc2 .

Разделяя переменные v ■ ± ~ и интегрируя

обе части равенства, найдем

In (р*-^) = -^г + Сг, (8.20)

где при дг = 0 и и = 0 постоянная интегрирования Cj =

= In рг.

После подстановки значения Сг в уравнение (8.20) получим

. — а* 2gfe2 рг —о* / 2g** Л

inр ра—= — или -^т — = єхр

откуда

v = р Y 1 — exp (— х) . (8.21)

При х -*■ оо имеем v -*■ o„iax = р — Следовательно, ма­ксимально достижимая скорость свободного движения системы гонщик — велосипед на спуске при рассмотрен­ных выше условиях и с учетом указанных допущений будет определяться уравнением

CxSp

Общее уравнение, описывающее изменение скорости в процессе разгона системы на спуске, в функции прой­денного пути имеет вид

(8.23)

При массе гонщика 72 кг, массе велосипеда 10 кг, общей массе системы т0 = 72 + 10 = 82 кг, отсутствии Еетра, р = 1,25Н-с2/м4, Сх = 0,8, S = 0,5 м2, г = 0,34 м, g = 9,81 м/с2, fK = 4-Ю"3 м и а = 10° максимально достижимая скорость движения составляет 22,26 м/с, или 80,16 км/ч.

Гонщику трудно контролировать момент достижения максимальной скорости. Поэтому полезно знать примерно расстояние и время, когда такая скорость будет дости­гнута. Для исследования изменения скорости в функции времени преобразуем уравнение (8.19):

^ = (8-24)

dv dk2

Разделяя вновь переменные р2 _ ~ dt и инте­

грируя обе части равенства, получим

-1 arctg ±=**-( + Съ (8.25)

откуда при t = 0 и v = 0 находим Сх = 0. Следовательно,

arctg-J — = t, vmiх = р и arctg t.

Р и ^шах ушах

Окончательно выражение для текущего значения ско­рости имеет следующий вид:

Л. (8.26)

L ишах J

Ряд решений этого уравнения при различных уклонах дороги представлен на рис. 8.14, откуда видно, что для достижения максимально возможных скоростей при сво­бодном спуске необходимо значительное время и расстоя­ние. Поэтому гонщик в целях достижения максимального

Рис. 8.14. Изменение скорости свободного спуска велосипедиста мас­сой т = 82 кг при различных углах наклона поверхности дороги: / — а = 2,5е; і — а = 5°: 3 — а = 10°; 4 — а = 15е

спортивного результата должен форсировать разгон на спусках с использованием увеличенных передач или педа­лирования короткими сериями.